Conclusão

Neste trabalho concluímos que:

Este teorema revolucionou a engenharia e matemática na época. Hoje em dia, é utilizado para muitas coisas, como por exemplo, milhares de cálculos de engenharia civil, cálculo de telhados em forma de declives, descobrir o comprimento de que escada usar para determinada obra, entre outros.

Esta foi, sem dúvida, uma das maiores descobertas da humanidade.

Bibliografia

http://www.prof2000.pt/users/paulap/teorema.html

http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-teorema-pitagoras.htm#resposta-2338

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm14/aplicacoes.htm

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curgeo/modulo/tpit.html

http://criar.no.sapo.pt/provas.htm

Exercícios de aplicação

Questão 1

Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 

Resposta: A altura da torre é aproximadamente 26 metros

Questão 2

Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.

Resposta: O avião encontra-se a uma altura de 4000 metros

Questão 3

Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.  

Respostas: O perímetro da região triangular é dado pela soma, 100 + 80 + 60 = 240

Quantidade de arame = 240 x 4 = 960 metros

Exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras

3. Um navio partiu de um ponto A, percorreu 70 milhas para sul e atingiu o porto B. Em seguida percorreu 30 milhas para leste e atingiu o ponto C. Finalmente, navegou 110 milhas para o norte e chegou ao porto D.
Quantas milhas teria poupado se fosse directamente do porto A para o porto D?
   Vamos começar por fazer um esquema do percurso do navio, desde o porto A até ao porto D, traduzindo as distâncias pelos comprimentos dos segmentos.

AB +BC +CD =210 milhas

    E se o navio fosse directamente de A para D?
    Então, AD =[(30)² + (40)² ]½ <=> AD=50
    Conclusão : O navio teria poupado 210 – 50 =160 milhas .

Exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras

2. Calcula a área do triângulo isósceles cuja base mede 60 cm e o perímetro 216 cm .

    Na figura , dividimos o triângulo isósceles em 2 triângulos  rectângulos.

    Para calcular os outros lados do triângulo, cujo comprimento designaremos por T, basta resolver a equação 2T + 60 = 216, pois o perímetro é a soma dos comprimentos dos lados. Logo, após a resolução daquela equação, temos T = 78.
    Conhecidos os comprimentos dos lados iguais, vamos determinar a altura, que designaremos por h.
    Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo vem : (78)² = (30)² + h² de onde , h=72.
    Há agora que determinar a área de triângulo. Conhecemos o comprimento da base e a altura e como a área se calcula multiplicando a base pela altura e dividindo por dois , temos A= (60 x 72)/2 =2160 cm ².

Exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras

1. Uma escada com 6 metros de comprimento, está encostada a um muro com 4,47 metros de altura, de modo que uma das extremidades da escada encostada à parte de cima do muro.

Qual a distância da escada ao muro, medida sobre o chão?

    









Podemos encarar este problema de uma maneira "matemática ", resumindo-se à determinação da medida P de um dos catetos de um triângulo rectângulo de hipotenusa 6 e em que o outro cateto mede 4,47.

     

4,47cm           6 cm

P = ?

    Aplicando o Teorema de Pitágoras :
        6² =(4,47)² +x².Logo , x² = 16.0191.
    Aplicando a raiz quadrada a x , vem :
        x = 4.0024.

Demonstrações do teorema de Pitágoras

Demonstração 4

Traçar um círculo com raio c e um triângulo de lados a e b .Obteveram-se assim dois triângulos semelhantes GFK e FKH. então: a/(c+b) = (c-b)/a  logo a2 = (c+b)(c-b) = c2 - b2.

Demonstrações do teorema de Pitágoras

Demonstração 3

1º Passo:
Pitágoras considerou um triângulo rectângulo cujos os catetos medem b e c e cuja a hipotenusa mede a.

2º Passo:
Construiu em seguida um quadrado de lado igual à soma dos dois catetos do triângulo (b + c) e fez nele a repectiva decomposição.

3º Passo: 
Provou que o quadrilátero [MNPQ] era um quadrado

 Os seus lados têm todos o mesmo comprimento  porque são as hipotenusas dos triângulos rectângulos.

 Os seus ângulos internos são todos rectos. Observe o ângulo M da seguinte figura:


















E analogamente para os outros ângulos - N, P e Q. Desta forma, fica provado que o quadrilátero [MNPQ] é um quadrado.

Vejamos agora como é que Pitágoras comprovou a sua demonstração. A demonstração resulta do confronto da primeira figura com a que se segue, compondo as peças do quadrado de uma outra forma.

Demonstrações do Teorema de Pitágoras

Demonstração 2 

Nesta demonstração repetimos os passos 1) e 2) feitos na demonstração anterior. Depois da verificação que o quadrilátero era um quadrado atendendo ao conhecimento das figuras planas tem-se:

(b + c)2 = a2 + 4 × (bc) ÷ 2
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc
b2 + c2 = a2

Demonstrações do teorema de Pitágoras

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras. O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.
Esta demonstração foi elaborada por James Abram Garfield, um general que foi eleito presidente dos Estados Unidos por quatro meses (assassinado em 1881). James Garfield gostava muito de Matemática. Sua prova foi baseada numa figura, o trapézio, formada por três triângulos retângulos.

Demonstração 1

área do trapézio = [(base maior + base menor) / 2] × altura




área do trapézio = soma das áreas dos triângulos,
então



(b + c)2 = 2 × bc + a2
b2 + 2bc + c2 = 2 × bc + a2
b2 + c2 = a2
                                                           logo

a2  = b2 + c2

Descrição do Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo rectângulo  Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

“ Em qualquer triângulo rectângulo  o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. ”

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

“ Em qualquer triângulo rectângulo  a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos. ”

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar

c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras, que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele.

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi(1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

História de Pitágoras e do seu Teorema

Pitágoras de Samos foi um Filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de  571 a.C. e 570 a.C.  e morreu em Metaponto entre cerca de 479 a.C. ou 496 a.C.

A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome significa altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia.

Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Teve como sua principal mestra, a filósofa e matemática Temstocléia.

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo rectângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C.

Introdução

Este trabalho vai ser realizado no âmbito da disciplina de T.I.C.  e de Oficina de Matemática pelas alunas Laura e Catarina do Externato Cooperativo da Benedita. Neste trabalho vai ser abordado o tema "Teorema de Pitágoras" para assim saber o que é, como surgiu e como trabalhar com ele. Vai ser apresentado um pouco da história de Pitágoras e do seu Teorema, a descrição do Teorema de Pitágoras, algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras,  exemplos de aplicação do Teorema, alguns exercícios de aplicação.

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