Conclusão

Neste trabalho concluímos que:

Este teorema revolucionou a engenharia e matemática na época. Hoje em dia, é utilizado para muitas coisas, como por exemplo, milhares de cálculos de engenharia civil, cálculo de telhados em forma de declives, descobrir o comprimento de que escada usar para determinada obra, entre outros.

Esta foi, sem dúvida, uma das maiores descobertas da humanidade.

Bibliografia

http://www.prof2000.pt/users/paulap/teorema.html

http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-teorema-pitagoras.htm#resposta-2338

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm14/aplicacoes.htm

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curgeo/modulo/tpit.html

http://criar.no.sapo.pt/provas.htm

Exercícios de aplicação

Questão 1

Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 

Resposta: A altura da torre é aproximadamente 26 metros

Questão 2

Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.

Resposta: O avião encontra-se a uma altura de 4000 metros

Questão 3

Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.  

Respostas: O perímetro da região triangular é dado pela soma, 100 + 80 + 60 = 240

Quantidade de arame = 240 x 4 = 960 metros

Exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras

3. Um navio partiu de um ponto A, percorreu 70 milhas para sul e atingiu o porto B. Em seguida percorreu 30 milhas para leste e atingiu o ponto C. Finalmente, navegou 110 milhas para o norte e chegou ao porto D.
Quantas milhas teria poupado se fosse directamente do porto A para o porto D?
   Vamos começar por fazer um esquema do percurso do navio, desde o porto A até ao porto D, traduzindo as distâncias pelos comprimentos dos segmentos.

AB +BC +CD =210 milhas

    E se o navio fosse directamente de A para D?
    Então, AD =[(30)² + (40)² ]½ <=> AD=50
    Conclusão : O navio teria poupado 210 – 50 =160 milhas .

Exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras

2. Calcula a área do triângulo isósceles cuja base mede 60 cm e o perímetro 216 cm .

    Na figura , dividimos o triângulo isósceles em 2 triângulos  rectângulos.

    Para calcular os outros lados do triângulo, cujo comprimento designaremos por T, basta resolver a equação 2T + 60 = 216, pois o perímetro é a soma dos comprimentos dos lados. Logo, após a resolução daquela equação, temos T = 78.
    Conhecidos os comprimentos dos lados iguais, vamos determinar a altura, que designaremos por h.
    Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo vem : (78)² = (30)² + h² de onde , h=72.
    Há agora que determinar a área de triângulo. Conhecemos o comprimento da base e a altura e como a área se calcula multiplicando a base pela altura e dividindo por dois , temos A= (60 x 72)/2 =2160 cm ².

Exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras

1. Uma escada com 6 metros de comprimento, está encostada a um muro com 4,47 metros de altura, de modo que uma das extremidades da escada encostada à parte de cima do muro.

Qual a distância da escada ao muro, medida sobre o chão?

    









Podemos encarar este problema de uma maneira "matemática ", resumindo-se à determinação da medida P de um dos catetos de um triângulo rectângulo de hipotenusa 6 e em que o outro cateto mede 4,47.

     

4,47cm           6 cm

P = ?

    Aplicando o Teorema de Pitágoras :
        6² =(4,47)² +x².Logo , x² = 16.0191.
    Aplicando a raiz quadrada a x , vem :
        x = 4.0024.

Demonstrações do teorema de Pitágoras

Demonstração 4

Traçar um círculo com raio c e um triângulo de lados a e b .Obteveram-se assim dois triângulos semelhantes GFK e FKH. então: a/(c+b) = (c-b)/a  logo a2 = (c+b)(c-b) = c2 - b2.

Demonstrações do teorema de Pitágoras

Demonstração 3

1º Passo:
Pitágoras considerou um triângulo rectângulo cujos os catetos medem b e c e cuja a hipotenusa mede a.

2º Passo:
Construiu em seguida um quadrado de lado igual à soma dos dois catetos do triângulo (b + c) e fez nele a repectiva decomposição.

3º Passo: 
Provou que o quadrilátero [MNPQ] era um quadrado

 Os seus lados têm todos o mesmo comprimento  porque são as hipotenusas dos triângulos rectângulos.

 Os seus ângulos internos são todos rectos. Observe o ângulo M da seguinte figura:


















E analogamente para os outros ângulos - N, P e Q. Desta forma, fica provado que o quadrilátero [MNPQ] é um quadrado.

Vejamos agora como é que Pitágoras comprovou a sua demonstração. A demonstração resulta do confronto da primeira figura com a que se segue, compondo as peças do quadrado de uma outra forma.